17 Ocak 1941'de Ankara'da doğdu. Haydarpaşa Lisesi'ni (1959), İÜEF Sosyoloji Bölümü'nü bitirdi (1964). 1962'de Arena Tiyatrosu'nda profesyonel oldu. 1972'ye kadar Gülriz Sururi-Engin Cezzar Tiyatrosu, Halk Oyuncuları ve Dostlar Tiyatrosu'nda oyuncu, yönetmen, dramaturg olarak çalıştı. 1972'den sonra sahneden ayrıldı. Oyun yazarlığına başladı. Çoğu, Devekuşu Kabare Tiyatrosu'nda sahnelenen oyunlar ve skeçler yazdı. 1974'te Atıf Yılmaz'la birlikte Yılmaz Güney'e, bir çingenenin yaşamını konu alan Cemil adlı senaryoyu yazarak sinema dünyasına girdi. Senaryo yazarı ve yapımcı olarak pek çok esere imza attı. İlk mizah öyküsü Nasıl Kaleci Oldum, 1959'da Karakedi dergisinde yayımlandı. Sonraları Milliyet, Cumhuriyet, Hürriyet gazeteleriyle Milliyet Çocuk ve Çarşaf dergilerinde mizah yazıları yazdı. Kirpi Çocuk adlı bir de roman denemesi vardır. Hasip ile Nasip, İşte Hayat, Deli Yusuf, Hababam Sınıfı, Kapıcılar Kralı, Tuzak, Çöpçüler Kralı, Pisi Pisi, Yoksul, Davacı, Düttürü Dünya, Postacı, Aslan Bacanak gibi sinema filmlerinin senaryolarını yazdı. Bizler ve Bizler (1978) adlı oyunu İstanbul Şehir Tiyatroları'nda, Bir Kadın Bir Erkek (1983) adlı oyunu Kenter Tiyatrosu'nda sahnelendi. Perihan Abla, Bizimkiler, Yazlıkçılar, Saygılar Bizden, Oğlum Adam Olacak, Komşu Komşu adlı çok sevilen televizyon dizilerinin yazarlığını; 2000 yılında sahnelenen Oğlum Adam Olacak adlı müzikli oyunun dramaturgluğunu yaptı. Duruşma adlı filmin senaryosu, son çalışmaları arasında yer alan Bugay, bugünlerde yeni mizah öyküleri ve Rus Gelin adlı komedi filminin senaryosunu yazıyor. Umur Bugay, Pir Sultan Abdal oyunu ile '1970 DİSK En İyi Yönetmen'; İşte Hayat ve Çöpçüler Kralı ile '1976 ve 1978 Antalya Film Şenliği En İyi Özgün Senaryo' ödüllerini aldı.