1951 yılında İstanbul'da doğdu. Ortaöğrenimini Saint Joseph Lisesi ve Ankara Fen Lisesi'nde gördü. 1977 yılında Ankara Tıp Fakültesi'nden mezun oldu. Bursa Uludağ Üniversitesi'nde KBB uzmanlığını tamamladı. Paris'te Saint Antoine, Saint Louis, Laennec hastanelerinde çalıştı. 1986 yılında doçentlik unvanı aldıktan iki yıl sonra Haseki Hastanesi KBB departmanı şefliğine, 1993 yılında da Haseki Hastanesi başhekimliğine atandı. 1996 yılında profesör oldu. "Larenks Kanseri ve Boyun" ile "Baş Boyun Anatomisi" adlı kitapları bulunmaktadır. Ayrıca "KBB Postası" adlı dergiyi kurdu ve editörlüğünü yaptı.
Türk KBB derneğinin on, Fransız KBB Derneği'nin yedi, American Sleep Disorder Derneği'nin üç ve Voice Foundation'ın beş yıldır üyeliğini yapmaktadır.
Istanbul Operası'nda bir süre çalışan Mehmet Ömür, Vehbi Koç Vakfı Amerikan Hastanesi'nde KBB departman şefliği görevini sürdürmektedir.
