Palme Yayınları Mühendislik ve Temel Bilimler İçin Matlab Destekli Sayısal Analiz

Palme Yayınevi Mühendislik ve Temel Bilimler İçin Matlab Destekli Sayısal Analiz 9786052828960 Mühendislik ve Temel Bilimler İçin MATLAB® Destekli Sayısal Analiz ( 2. Baskıdan Çeviri ) Ön söz ................................................................xv Teşekkür......................................................... xix Yazar .............................................................................. xxi 1. Arkaplan ve Giriş .......................................................1 Kısım 1: Arkaplan .........................................................1 1.1 Diferansiyel Denklemler...............................................1 1.1.1 Lineer, Birinci Mertebeden ADD’ler.................................1 1.1.2 İkinci Mertebeden Sabit Katsayılı ADD’ler..............................2 1.1.2.1 Homojen Çözüm ................................2 1.1.2.2 Özel Çözüm............................................3 1.1.3 Belirsiz Katsayılar Yöntemi...............................................3 1.2 Matris Analizi.........................................................4 1.2.1 Matris İşlemleri ..................................................5 1.2.2 Matrisin Devriği.................................................5 1.2.3 Özel Matrisler..............................................6 1.2.4 Bir Matrisin Determinantı.....................................6 1.2.5 Determinantın Özellikleri..............................................6 1.2.5.1 Cramer Kuralı.............................................7 1.2.6 Bir Matrisin Tersi .................................8 1.2.7 Ters Matrisle İlgili........................................................9 1.2.8 Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü ..............................9 1.3 Matris Özdeğer Problemi..........................................................9 1.3.1 Özdeğer Probleminin Çözümü............................... 10 1.3.2 Benzerlik Dönüşümü ............................. 11 1.3.3 Matrisin Köşegenleştirilmesi............................... 11 1.3.4 Matrislerin Özdeğer Özellikleri..............................................12 Kısım 2: Sayısal Yöntemlere Giriş...............................................12 1.4 Hata ve Yaklaştırımlar ...................................................12 1.4.1 Sayısal Hata Kaynakları ...........................12 1.4.2 İkili ve Onaltılı Sayılar......................................... 13 1.4.3 Kayan Nokta ve Yuvarlama Hataları....................... 13 1.4.4 Kesme ve Yuvarlama........................................ 14 1.4.5 Mutlak ve Bağıl Hatalar..................................... 15 1.4.6 Hata Sınırı................................................ 16 1.4.7 Bir Kaynaktan Nihai Sonuca Hatanın İletilmesi ............ 16 1.4.8 Değerleri Yakın Sayıların Çıkarılması..................... 17 1.5 İteratif Yöntemler....................................... 19 1.5.1 Temel İteratif Yöntem ..........................................20 1.5.2 Bir İteratif Yöntemin Yakınsama Hızı .............. 21 Problemler (Bölüm 1) ........................................22 2. MATLAB’e Giriş......................................................27 2.1 MATLAB Fonksiyonları..............................................27 viii 2.1.1 Yuvarlama Komutları..............................27 2.1.2 İlişki Operatörleri.......................................28 2.1.3 Format Seçenekleri......................................28 2.2 Vektörler ve Matrisler......................................................29 2.2.1 Linspace Komutu............................................30 2.2.2 Matrisler..................................................30 2.2.3 Bir Matrisin Determinantı, Devriği ve Tersi....................... 32 2.2.4 Eğik Çizgi İşlemleri ....................33 2.2.5 Elemanlar Arası Kullanılan İşlemler.....................33 2.2.6 Köşegen Matrisler ve Bir Matrisin Köşegenleri ...................34 2.3 Sembolik Matematik Aracı.........................36 2.3.1 Anonim (Ortak) Fonksiyonlar...........................38 2.3.2 MATLAB Fonksiyonları........................38 2.3.3 Türev Alma.................................39 2.3.4 Kısmı Türevler...............................................40 2.3.5 İntegral Alma.................................................40 2.4 Program Akış Kontrol Komutları............................... 41 2.4.1 for Döngüsü.................................................... 41 2.4.2 if Komutu................................................42 2.4.3 while Döngüsü..................................43 2.5 Biçimlendirilmiş Verilerin Görüntülenmesi....................43 2.5.1 Diferansiyel Denklemler...........................................44 2.6 Grafik Çizdirme ...................................................45 2.6.1 subplot Komutu .......................................45 2.6.2 Analitik İfadelerin Çizdirilmesi..............................46 2.6.3 Çoklu Grafik Çizdirme ....................................46 2.7 Kullanıcı Tanımlı Fonksiyonlar ve Kod Dosyaları .........................47 2.7.1 Giriş Değişkenleri için Varsayılan Değerlerin Belirlenmesi....................49 2.7.2 Kod Dosyalarının Oluşturulması.....................................50 Problemler (Bölüm 2) ............................................ 51 3. Tek Değişkenli Denklemlerin Sayısal Çözümü......................55 3.1 Denklemlerin Sayısal Çözümü....................................................55 3.2 İkiye Bölme Yöntemi ........................................55 3.2.1 MATLAB Fonksiyonu fzero......................................60 3.3 Lineer İnterpolasyon Yöntemi (Regula Falsi Yöntemi) ....................... 61 3.3.1 Düzenlenmiş Lineer İnterpolasyon Yöntemi ..........................64 3.4 Sabit Nokta Yöntemi......................................................65 3.4.1 Uygun İterasyon Fonksiyonunun Seçilmesi...................66 3.4.2 Yakınsama Konusunda Bir Kenar Notu........................... 67 3.4.3 Sabit Nokta İterasyonunun Yakınsaması .....................71 3.5 Newton Yöntemi (Newton–Raphson Yöntemi)...............................72 3.5.1 Newton Yönteminin Yakınsama Hızı............................. 76 3.5.2 Newton Yöntemi Hakkında Birkaç Not ...........................77 3.5.3 İki veya Daha Yüksek Katlı Kökler için Düzenlenmiş Newton Yöntemi ................................78 3.6 Sekant Yöntemi...................................................... 81 3.6.1 Sekant Yönteminin Yakınsama Hızı....................................83 3.6.2 Sekant Yöntemi Hakkında Birkaç Not...........................83 ix 3.7 Birden Fazla Köke Sahip Denklemler..............................83 3.7.1 Belirli Bir Noktanın Sağındaki Kökleri Bulma........................83 3.7.2 fzero ile Bir Aralıktaki Kökleri Bulma ..................84 Problemler (Bölüm 3) ....................................................88 4. Denklem Sistemlerinin Sayısal Çözümü.............................95 4.1 Lineer Denklem Sistemleri..............................95 4.2 Lineer Sistemlerin Sayısal Çözümü ..............................96 4.3 Gauss Yok Etme Yöntemi...........................................96 4.3.1 Choosing the Pivot Row: Partial Pivoting with Row Scaling .............98 4.3.2 Permütasyon Matrisleri .......................99 4.3.3 İşlem Sayısı ......................................... 102 4.3.3.1 Yok Etme......................................... 102 4.3.3.2 Geri Yerine Koyma........................... 103 4.3.4 Üçlü Köşegen Matris Sistemleri.............................. 103 4.3.4.1 Thomas Yöntemi (Algoritması)....................... 104 4.3.4.2 MATLAB Fonksiyonu "\"................... 106 4.4 LU Ayrıştırma Yöntemleri ....................................... 107 4.4.1 Doolittle Ayrıştırması..................................... 107 4.4.2 Gauss Yok Etme Adımları ile L ve U’nun Bulunması ......... 108 4.4.3 L ve U’yu Doğrudan Bulma ........................... 108 4.4.3.1 Doolittle Yöntemiyle Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü ................................... 110 4.4.3.2 İşlem Sayısı.............................................. 112 4.4.4 Cholesky Ayrıştırması.............................. 112 4.4.4.1 Cholesky Yöntemi İle Lineer Denklem Sisteminin Çözümü. 113 4.4.4.2 İşlem Sayısı................... 115 4.4.4.3 MATLAB Fonksiyonları lu ve chol................... 115 4.5 Lineer Sistemlerin İterasyonlu Çözümü.......................... 116 4.5.1 Vektör Normları...................... 116 4.5.2 Matris Normları......................................... 118 4.5.2.1 Vektör ve Matris Normlarının Uyumluluğu .................. 119 4.5.3 Genel İterasyon Yöntem........................... 120 4.5.3.1 Genel İterasyon Yönteminin Yakınsaması ............. 120 4.5.4 Jacobi İterasyon Yöntemi............................. 121 4.5.4.1 Convergence of the Jacobi Iteration Method ............122 4.5.5 Gauss–Seidel İterasyon Yöntemi .............................125 4.5.5.1 Gauss–Seidel İterasyon Yönteminin Yakınsaması ............ 127 4.5.6 Büyük Sistemler için Doğrudan ve Dolaylı Yöntemlerin Kıyaslaması 130 4.6 Kötü Koşulluluk ve Hata Analizi........................ 131 4.6.1 Koşul Sayısı.................................................... 131 4.6.2 Kötü Koşulluluk...................................................... 132 4.6.2.1 Kötü Koşulluluk Göstergeleri .................................... 133 4.6.3 Hesaplama Hatası......................................................... 133 4.6.3.1 Kötü Koşullu Olmanın Sonuçları ............................ 135 4.6.4 Parametre Değişimlerinin Çözüme Etkisi............................. 136 4.7 Lineer Olmayan Denklem Sistemleri.................................................. 138 4.7.1 Lineer Olmayan Bir Sistem için Newton Yöntemi.................... 138 x 4.7.1.1 İki Lineer Olmayan Denklemin Çözümü için Newton Yöntemi....................................................................... 138 4.7.1.2 Lineer Olmayan n Denklem Sistemi için Newton Yöntemi .. 142 4.7.1.3 Newton Yönteminin Yakınsaması................................ 142 4.7.2 Lineer Olmayan Denklem Sisteminin Sabit-Nokta İterasyonu ile Çözümü............................................................ 143 4.7.2.1 Sabit-Nokta İterasyon Yönteminin Yakınsa........ 143 Problemler (Bölüm 4) ................................................... 146 5. Eğri Uydurma ve İnterpolasyon....................................... 161 5.1 En Küçük Kareler Yöntemi............................................. 161 5.2 Lineer Regresyon .......................................................... 162 5.2.1 “En İyi” Uydurma Ölçütüne Karar Verme............................... 163 5.2.2 Lineer En Küçük Kareler Regresyonu .................................... 164 5.3 Lineer Olmayan Verinin Lineer Hale Getirilmesi ............................ 167 5.3.1 Üstel Fonksiyon....................................................................... 167 5.3.2 Kuvvet Fonksiyonu............................................... 167 5.3.3 Doyma Fonksiyonu ...................................................... 168 5.4 Polinom Regresyonu......................................................... 172 5.4.1 İkinci Dereceden En Küçük Kareler Regresyonu ............. 174 5.4.2 Üçüncü Dereceden En Küçük Kareler Regresy............ 176 5.4.3 MATLAB Fonksiyonları: Polyfit ve Polyval .......................... 178 5.5 Polinom İnterpolasyonu................................................................. 179 5.5.1 Lagrange İnterpolasyon Polinomları........................................ 180 5.5.2 Lagrange İnterpolasyonunun Dezavantajları............................... 183 5.5.3 Newton Bölünmüş Fark İnterpolasyon Polinomları ............... 184 5.5.4 Özel Durum: Eşit Aralıklı Veriler ............................................... 190 5.5.5 Newton İleri-Fark İnterpolasyon Polinomları....................... 191 5.6 Şerit İnterpolasyonu .................................................... 193 5.6.1 Lineer Şeritler.............................................................. 194 5.6.2 İkinci Dereceden Şeritler ............................................. 195 5.6.2.1 Uç Noktalardaki Fonksiyon Değerleri (2 Denklem)............ 195 5.6.2.2 İç Düğümlerdeki Fonksiyon Değerleri (2n - 2 Denklem) ....... 196 5.6.2.3 İç Düğümlerdeki Birinci Türevler (n - 1 Denklem) ................. 196 5.6.2.4 Sol Uç Noktada İkinci Türevin Sıfır Olması (1 Denklem).........196 5.6.3 Üçüncü Dereceden Şeritler................................................. 198 5.6.3.1 Sabit Sınır Şartları ...................................................... 199 5.6.3.2 Serbest Sınır Şartları ......................................... 199 5.6.4 Üçüncü Dereceden Şeritlerin Oluşturulması: Sabit Sınır Şartları........ 199 5.6.5 Üçüncü Dereceden Şeritlerin Oluşturulması: Serbest Sınır Şartları....204 5.6.6 MATLAB Fonksiyonları interp1 ve spline.................................205 5.6.7 Sınır Şartları........................................................................ 207 5.6.8 MATLAB’te İnteraktif Eğri Uydurma ve İnterpolasyo..........208 5.7 Fourier Yaklaştırımı ve İnterpolasyonu.................................................209 5.7.1 Sinüzoidal Eğri Uydurma....................................................209 5.7.1.1 Fourier Yaklaştırımı................................................... 210 5.7.1.2 Fourier İnterpolasyonu................................................ 210 5.7.2 Verilerin Lineer Dönüşümü ..................................................... 210 5.7.3 Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ......................................... 215 xi 5.7.4 Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT).......................................... 216 5.7.4.1 Sande–Tukey Algoritması (N = 2p, p = tamsayı) 5.7.4.2 Örnek Çalışma: N = 23 = 8 ....................................... 218 5.7.4.3 Cooley–Tukey Algoritması (N = 2p, p = tamsayı)...................... 219 5.7.5 MATLAB Fonksiyonu fft........................................................220 5.7.5.1 MATLAB Fonksiyonu fft.....................................220 Problemler (Bölüm 5) .................................................................223 6. Sayısal Türev ve İntegral........................................................... 249 6.1 Sayısal Türev.............................................................................. 249 6.2 Sayısal Türev için Sonlu Fark Formülleri.......................................... 249 6.2.1 Birinci Türev için Sonlu Fark Formülü ......................................250 6.2.1.1 İki Noktalı Geri Fark Formülü ...............................250 6.2.1.2 İki Noktalı İleri Fark Formülü.................................. 251 6.2.1.3 İki Noktalı Merkezi Fark Formülü.................................... 251 6.2.1.4 Üç Noktalı Geri Fark Formülü......................................... 252 6.2.1.5 Üç Noktalı İleri Fark Formülü........................................253 6.2.2 İkinci Türev için Sonlu Fark Formülleri.....................................254 6.2.2.1 Üç Noktalı Geri Fark Formülü.......................................254 6.2.2.2 Üç Noktalı İleri Fark Formülü.........................................254 6.2.2.3 Üç Noktalı Merkezi Fark Formülü ........................255 6.2.2.4 Birinci Türevden Dördüncü Türeve Kadar Sonlu Fark Formüllerinin Özetlenmesi ..................................256 6.2.3 Tahmin İyileştirme: Richardson Ekstrapolasyonu ......................256 6.2.4 Ayrık Veri Grupları için Richardson Ekstrapolasyonu.....................259 6.2.5 Eşit Aralıklı Olmayan Veriler için Türev Tahmini ............................259 6.2.6 MATLAB Fonksiyonları diff ve polyder.............................260 6.3 Sayısal İntegral Alma: Newton–Cotes Formülleri...................................... 261 6.3.1 Newton–Cotes Formülleri............................................................. 262 6.3.2 Dikdörtgen Kuralı................................................................ 262 6.3.2.1 Bileşik Dikdörtgen Kuralı ............................................ 262 6.3.3 Bileşik Dikdörtgen Kuralı için Hata Tahmini............................264 6.3.4 Yamuk Kuralı....................................................................266 6.3.4.1 Bileşik Yamuk Kuralı ............................................ 267 6.3.4.2 Bileşik Yamuk Kuralı için Hata Tahmini............... 267 6.3.5 Simpson Kuralları............................................... 269 6.3.5.1 Simpson 1/3 Kuralı ............................................... 269 6.3.5.2 Bileşik Simpson 1/3 Kuralı ................................... 270 6.3.5.3 Bileşik Simpson 1/3 Kuralı için Hata Tahmini .................. 270 6.3.5.4 Simpson 3/8 Kuralı ................................................... 271 6.3.5.5 Bileşik Simpson 3/8 Kuralı........................................272 6.3.5.6 Bileşik Simpson 3/8 Kuralı için Hata Tahmini .......... 273 6.3.6 MATLAB Fonksiyonları quad ve trapz ................................. 273 6.4 Analitik Fonksiyonlar için Sayısal İntegral Alma: Romberg İntegrasyonu ve Gauss Kareleme.......................................................................... 275 6.4.1 Romberg İntegrasyonu.............................................. 275 6.4.1.1 Richardson Ekstrapolasyonu................................... 275 6.4.1.2 Romberg İntegrasyonu.......................................... 278 6.4.2 Gaussian Kareleme.........................................................280 xii 6.5 Biçimsiz İntegraller...........................................................285 Problemler (Bölüm 6) ..................................................286 7. Başlangıç-Değer Problemlerinin Sayısal Çözümü......................... 301 7.1 Giriş.......................................................................... 301 7.2 Tek Adımlı Yöntemler................................................................... 301 7.3 Euler Yöntemi .....................................................................302 7.3.1 Euler Yöntemi için Hata Analizi..............................305 7.3.2 Yerel ve Genel Kesme Hatalarının Hesaplanması....................305 7.3.3 Yüksek Mertebeden Taylor Yöntemleri ..................................307 7.4 Runge–Kutta Yöntemleri .............................................................309 7.4.1 İkinci Mertebeden Runge–Kutta (RK2) Yöntemleri ................. 310 7.4.1.1 Gelişmiş Euler Yöntemi......................................... 311 7.4.1.2 Heun Yöntemi.......................................................... 311 7.4.1.3 Ralston Yöntemi .......................................................... 312 7.4.1.4 Heun Yönteminin Grafiksel Gösterimi................ 312 7.4.2 Üçüncü Mertebeden Runge–Kutta (RK3) Yöntemleri....................... 315 7.4.2.1 Klasik RK3 Yöntemi............................................ 315 7.4.2.2 Heun RK3 Yöntemi................................................. 315 7.4.3 Dördüncü Mertebeden Runge–Kutta (RK4) Yöntemle........ 316 7.4.3.1 Klasik RK4 Yöntemi.................................................. 317 7.4.4 Yüksek Mertebeli Runge–Kutta Yöntemleri........................... 319 7.4.5 Optimum Adım Boyunun Seçimi: Runge–Kutta Fehlberg (RKF) Yöntemi ...................................................................... 320 7.4.5.1 Adım Boyunun Ayarlanması .............................. 321 7.5 Çok Adımlı Yöntemler.......................................................322 7.5.1 Adams–Bashforth Yöntemi....................................................... 323 7.5.1.1 İkinci Mertebeden Adams–Bashforth Formülü .......... 324 7.5.1.2 Üçüncü Mertebeden Adams–Bashforth Formülü .......... 324 7.5.1.3 Dördüncü Mertebeden Adams–Bashforth Formülü.... 324 7.5.2 Adams–Moulton Yöntemi ......................................... 325 7.5.2.1 İkinci Mertebeden Adams–Moulton Formülü................. 326 7.5.2.2 Üçüncü Mertebeden Adams–Moulton Formülü.............. 326 7.5.2.3 Dördüncü Mertebeden Adams–Moulton Formülü...... 326 7.5.3 Öngörme-Düzeltme Yöntemleri....................................... 326 7.5.3.1 Heun Öngörme-Düzeltme Yöntemi..................... 327 7.5.3.2 Adams–Bashforth–Moulton (ABM) ÖngörmeDüzeltme Yöntemi..................................................... 327 7.6 Adi Diferansiyel Denklem Sistemleri .....................................330 7.6.1 Birinci Mertebeden ADD Sistemine Dönüştürme ..............330 7.6.1.1 Durum Değişkenleri.................................................330 7.6.1.2 Gösterim ...................................................................330 7.6.1.3 Durum Değişkeni Denklemleri.................................330 7.6.2 Birinci Mertebeden ADD Sisteminin Sayısal Çözümü ............. 332 7.6.2.1 Sistemler için Euler Yöntemi ...................................... 332 7.6.2.2 Sistemler için Heun Yöntemi...............................335 7.6.2.3 Classical RK4 Method for Systems ....................336 7.7 Kararlılık ..........................................................................340 7.7.1 Euler Yöntemi............................................................341 xiii 7.7.2 Kapalı Euler Yöntemi ......................................................341 7.8 Katı Diferansiyel Denklemler ..............................................343 7.9 Başlangıç-Değer Problemlerinin Çözümü için MATLAB Fonksiyonları .........345 7.9.1 Katı Olmayan Denklemler ...........................................345 7.9.2 Birinci Mertebeden BDP .........................................................345 7.9.3 ADD Çözücü Seçeneklerini Ayarlama .....................................347 7.9.4 Birinci Mertebeden BDP Sistemi .......................................348 7.9.5 Katı Denklemler........................................................349 Problemler (Bölüm 7) .............................................................350 8. Sınır-Değer Problemlerinin Sayısal Çözümü.............................. 367 8.1 İkinci Mertebeden SDP .............................................................. 367 8.2 Sınır Şartları.................................................................................... 367 8.3 Yüksek Mertebeden SDP..........................................................368 8.4 Atış Yöntemi .........................................................................368 8.5 Sonlu Farklar Yöntemi................................................................... 374 8.5.1 Karma Sınır Şartlarına Sahip Sınır Değer Problemleri.......... 379 8.6 Sınır-Değer Problemleri için MATLAB fonksiyonu bvp4c...................... 381 8.6.1 İkinci Mertebeden SDP ...................................................382 Problemler (Bölüm 8) ................................................................386 9. Matris Özdeğer Problemi........................................................ 393 9.1 Matris Özdeğer Problemi........................................................ 393 9.2 Kuvvet Yöntemi: Baskın Özdeğer Tahmini.................................. 393 9.2.1 Baskın Özdeğerler için Farklı Durumlar............................. 395 9.2.2 Kuvvet Yöntemi için Algoritma............................................. 395 9.3 Ters Kuvvet Yöntemi: En Küçük Özdeğerin Tahmin Edilmesi.......... 398 9.4 Kaydırılmış Ters Kuvvet Yöntemi: Belirli Bir Değere En Yakın Özdeğerin Tahmin Edilmesi .................................................. 399 9.4.1 Kaydırılmış Ters Kuvvet Yöntemi Hakkında Notlar ................400 9.5 Kaydırılmış Kuvvet Yöntemi.............................................. 401 9.5.1 Bir Matrisin Tüm Özdeğerlerini Tahmin Etme Strateji......... 401 9.6 MATLAB Fonksiyonu eig...........................................403 9.7 Deflasyon Yöntemleri....................................................403 9.7.1 Wielandt Deflasyon Yöntemi ..............................................404 9.7.2 Deflasyon İşlemi........................................................................405 9.8 Householder Üçlü-Köşegenleştirme ve QR Ayrıştırması ..................407 9.8.1 Householder Üçlü-Köşegenleştirme Yöntemi (Simetrik Matrisler)......................................................408 9.8.2 Simetrik Ortogonal Pk (k = 1,2, … , n − 2) Matrisinin Belirlenmesi.......409 9.8.3 QR Ayrıştırma Yöntemi............................................... 411 9.8.4 Qk ve Rk Matrislerinin Belirlenmesi ....................................... 412 9.8.5 Lk (k = 2,3,…, n) Matrisinin Yapısı ............................................ 412 9.9 MATLAB Fonksiyonu qr.................................................... 413 9.10 HouseholderQR için Sonlandırma Koşulu ................................... 414 9.11 Hessenberg Biçimine Dönüştürme (Simetrik Olmayan Matrisler)..... 417 Problemleri (Bölüm 9)........................................................... 418 xiv 10. Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü..........................423 10.1 Giriş............................................................................................423 10.2 Eliptik Kısmi Diferansiyel Denklemler............................................ 424 10.2.1 Dirichlet Problemi ............................................................ 424 10.2.2 Değişken Yönlü Kapalı (DKY/ADI) Yöntemler......................428 10.2.2.1 Peaceman–Rachford Değişken Yönlü Kapalı (PRDYK/PRADI) Yöntemi......................................429 10.2.3 Neumann Problemi..................................................433 10.2.3.1 Neumann Problemi için Bir Çözümün Varlığı .............435 10.2.4 Karma Tip Problemler....................................436 10.2.5 Daha Karmaşık Bölgelerin Çözümü.......................................437 10.3 Parabolik Kısmi Diferansiyel Denklemler.......................................440 10.3.1 Sonlu Fark Yöntemi ........................................................440 10.3.1.1 Sonlu Fark Yönteminin Kararlılığı ve Yakınsaması ............. 441 10.3.2 Crank–Nicolson Yöntemi......................................443 10.3.2.1 Crank–Nicolson (CN) Yöntemi ile Sonlu Fark (FD) Yönteminin Karşılaştırılması .....................................................446 10.4 Hiperbolik Kısmi Diferansiyel Denklemler..................................448 10.4.1 Çözüm Prosedürünün Başlatılması....................................449 Problemler (Bölüm 10) ................................................... 452 İndeks....................................................................461